Омар Хайям

Омар Хайям прожил 75 лет. Родился в 1048 году в Нишапуре. Учился в Нишапуре, а затем в крупнейших центрах науки того времени: Балхе, Самарканде и др. Около 1069 г. в Самарканде Омар Хайям написал трактат «О доказательствах задач алгебры и аллукабалы». В 1074 г. он возглавил крупнейшую астрономическую обсерваторию в Исфахане.

В 1077 г. завершил работу над книгой «Комментарии к трудным постулатам книги Евклида». В 1079 г. вместе с сотрудниками вводит в действие календарь. В последние годы 11 века меняется правитель Исфахана и обсерватория закрывается. Омар Хайям совершает паломничество в Мекку. В 1097 году работает врачом в Хорсане и пишет трактат на языке фарси «о всеобщности бытия».

Последние 10-15 лет жизни Хайям проводит очень тяжело в уединении в Нишапури, мало общается с людьми и много читает. Как сообщают историки, в последние часы жизни Омар Хайям читал «Книгу исцеления» Ибн Сины (Авиценны). Он дошёл до раздела «О единстве и всеобщности» философского сочинения, положил на книгу зубочистку, встал, помолился и умер.

Творчество Омара Хайяма — удивительное явление в истории культуры народов Средней Азии и Ирана, всего человечества. Его открытия в области физики, математики, астрономии переведены на многие языки мира и имеют историческое значение. Его стихи «жалящие как змея» до сих пор покоряют своей предельной ёмкостью, лаконичностью, образностью, простотой изобразительных средств и гибким ритмом.

Философия Омара Хайяма сближает его с гуманистами эпохи Возрождения («Цель творца и вершина творения — мы»). Он ненавидел и обличал существующие порядки, религиозные догмы и пороки, царившие в обществе. Однако часто Хайям впадал в пессимизм и фанатизм, что было широко распространено в средневековье и особенно на Востоке. Этот мир считался временным и преходящим. Богословы и философы того времени придерживались того мнения, что вечную жизнь и блаженство можно найти только после смерти.

Всё это не могло не найти своего отражения в творчестве Омара Хайяма. Однако поэт также любил и реальную жизнь, протестовал против её несовершенства и взывал наслаждаться каждым её мигом, невзирая на то, что существующие нравы и инквизиция не разделяли и преследовали подобные взгляды на жизнь.
Рубаи Омара Хайяма — классика средневековой восточной поэзии, которая и по сей день привлекает к себе всех ценителей мудрого слова.
На богатом историческом материале исследователи доказали заслуги Омара Хайяма как ученого, который сделал ряд важнейших открытий в области астрономии, математики и физики.

Известные нам математические результаты Хайяма относятся к трем направлениям: к алгебре, к теории параллельных, к теории отношений и учению о числе. Во всех этих направлениях Хайям имел в странах ислама выдающихся предшественников и преемников. Во многом он отправлялся от классиков греческой и эллинистической науки — Аристотеля, Евклида, и др., но вместе с тем он выступает как яркий представитель новой математики с ее мощной и определяющей вычислительно-алгоритмической компонентой.
За Хайямом в теории отношений и учении о числе последовал Насир Ад-Дин Ат-Туси. В Европе единое понятие действительного (положительного и отрицательного) числа появляется в конце XVI века у С. Стевина. Критике теории отношений V книги «Начал» с позиций вычислительной математики посвящен целый ряд трудов математиков XVII в.; основную роль в разработке идеи действительного числа сыграли Р. Декарт и И. Ньютон, определивший число как отвлеченное отношение произвольной величины к единичной величине того же рода.

Впрочем, строгие теории действительного числа появились только в конце XIX в. Таким образом, работы математиков стран ислама, и среди них работа Омара Хайяма, являются существенными звеньями в цепи исследований, приведших к строгой теории действительного числа и основанному на ней математическому анализу.
Работы

Список математических трактатов Омара Хайяма:
Трудности арифметики (Мушкилат ал-хисаб) — Местонахождение рукописи не найдено.
Алгебраический трактат без названия — Тегеран.
Трактат о доказательствах задач алгебры и алмукабалы (Рисала фи-л-барахин ‘ала маса’ил алджабр ва-л-мукабала) — Париж, Лейден, Лондон, Нью-Йорк, Рим.
Комментарии к трудностям во введениях книги Евклида (Шарх ма ашкала мин мусадарат китаб Уклидис) — Лейден.

Алгебраический трактат Хайяма можно разбить по порядку на пять разделов: 1) введение, 2) решение уравнений 1-й и 2-й степени, 3) решение уравнений 3-й степени, 4) сведение к предыдущим видам уравнений, содержащих величину, обратную неизвестной, и 5) дополнение (в тексте трактата такого деления на разделы не имеется).
Во введении мы впервые находим определение предмета и метода алгебры. «Искусство алгебры и алмукабалы, — сказано там, — есть научное искусство, предмет которого составляют абсолютное число и измеримые величины, являющиеся неизвестными, но отнесенные к какой-нибудь известной вещи, по которой их можно определить. Эта вещь есть или количество или отношение…».

Таким образом, предмет алгебры — это неизвестная величина, дискретная (ибо «абсолютное число» означает число натуральное) или же непрерывная (измеримыми величинами Хайям называет линии, поверхности, тела и время). Неизвестные и данные величины могут быть и отвлеченными отношениями. «Отнесение» неизвестных величин к известным есть составление уравнения. Немного далее Хайям говорит: «Алгебраические решения производятся при помощи уравнения, т.е., как это хорошо известно, приравнение одних степеней другим». Словом, алгебра определяется как наука об уравнениях, и именно о тех уравнениях, которые в настоящее время называются алгебраическими. Мы впервые здесь находим и термин «алгебраисты» — ал-джабриййуна.

Задачей алгебры является определение как числовых, так и геометрических неизвестных. Здесь Хайям свидетельствует, что математики стран ислама занимались поисками числового решения кубического уравнения, т.е. решения в радикалах, но тщетно. О различных видах уравнений 3-й степени он пишет: «Доказательство этих видов в том случае, когда предмет задачи есть абсолютное число, невозможно ни для нас, ни для кого из тех, кто владеет этим искусством. Может быть, кто-нибудь из тех, кто придет после нас, узнает это для случая, когда имеется не только три первых степени, а именно число, вещь и квадрат». Такое решение кубического уравнения было найдено итальянцами в начале XVI в., через 400 лет после смерти Омара Хайяма.

Другим важнейшим трудом Омара Хайяма — «Комментарии к трудностям во введениях книги Евклида». «Начала» Евклида, появившиеся в первом арабском переводе ал-Хаджжаджа около 800 г., сыграли выдающуюся роль в развитии математики в странах ислама. Почти сразу они стали предметом комментирования, а затем и критики; ко времени Хайяма можно насчитать, по крайней мере, 30 арабских сочинений такого рода. Особенное внимание привлекали аксиоматика и определения I книги и основанная на V постулате теория параллельных, а также общая теория отношений V книги и теория квадратичных иррациональностей трудной Х книги.

«Комментарии» Хайяма разделены на три книги, которым предшествует введение. Во введении автор говорит о предмете сочинения и некоторых своих предшественниках. Характерна высокая оценка философско-логических трудов Аристотеля. Омар Хайям не только принимает учение Аристотеля о структуре дедуктивной науки и его теорию доказательства, но следует за великим греком и в ряде более частных вопросов.

В первой книге «Комментариев» изложена теория параллельных. Хайям, конечно, не сомневается в истинности классического постулата Евклида, но считает его менее очевидным, чем ряд предложений, которые Евклид считал нужным доказывать, вроде теоремы о том, что равные центральные углы высекают на окружностях равных кругов равные дуги. Хайям отвергает некоторые попытки доказать V постулат, например Герона, Евтокия, ан-Найризи, как логически несостоятельные. Он отвергает и доказательство Ибн ал-Хаисама, который в основу теории параллельных положил утверждение, что линия, описываемая верхним концом перпендикуляра данной длины при движении нижнего конца вдоль данной прямой, есть прямая. Это утверждение Ибн ал-Хайсам в своих «Комментариях к введениям книги Евклида «Начала» пытался доказать при помощи некоторых неявных допущений относительно свойств равномерного прямолинейного движения. Омар Хайям не согласен с подходом Ибн ал-Хайсама в принципе, так как, вслед за Аристотелем, он исключает из геометрии «определения такого рода, дающие место движению».

Беда предшествующих ученых, по мнению Омара Хайяма, состоит в том, что «они не учитывали принципов, заимствованных у философа», — имеются в виду принципы, выдвинутые Аристотелем. Один из этих принципов, которого, впрочем, в известных нам трудах Аристотеля не имеется, Хайям принимает за исходный в собственной теории параллельных: «две сходящиеся прямые линии пересекаются, и невозможно, чтобы две сходящиеся прямые линии расходились в направлении схождения». Каждое из двух утверждений, содержащихся в принципе Аристотеля — Хайяма, эквивалентно V постулату.

Вторая и третья книги «Комментариев к трудностям во введениях книги Евклида» посвящены теории отношений. И здесь Омару Хайяму предшествовал целый ряд ученых, комментировавших и отчасти критиковавших V книгу «Начал».

Хайям не отрицает правильности знаменитого определения тождества двух отношений в V книге «Начал», в котором сравниваются произвольные равнократные первой и третьей и, соответственно, второй и четвертой величин, образующих пропорцию. С его точки зрения это определение страдало, однако, важным пороком, ибо не раскрывало «истинный смысл пропорции». Мы бы сказали, что в глазах Хайяма это определение не выявляло измерительных свойств отношений, основных для математики стран ислама, в которой такое важное место занимали приближенные вычисления и действия с числовыми иррациональностями. Хайям стремился дать такое определение равенства отношений, которое непосредственно отражает числовую функцию отношения. Он хотел соединить общую теорию отношений V книги, пригодную и для непрерывных соизмеримых величин, и теорию отношений чисел VII книги. При этом Омар Хайям встал на путь, по которому, видимо, не шли его предшественники: он доказывает эквивалентность евклидовых определений тождества и неравенства отношений с новыми, — и это сразу освобождает его от вывода всех теорем V книги.

Третья книга «Комментариев» посвящена учению о составлении отношений, недостаточно развитому у Евклида. Это учение представляло для математиков стран ислама особую важность в связи с приложениями к теории музыки и, главное, тригонометрии. Это совершенно понятно, если учесть, что составление отношений соответствует умножению чисел. Незадолго до Омара Хайяма аль-Бируни обосновал при помощи составных отношений практические правила индийцев — так называемые «цепные правила». В этой книге Хайям отходит от Аристотеля в учении о числе. Признавая вслед за многими древними, что число в собственном смысле, это натуральное число, собрание единиц, Хайям предлагает ввести более широкое абстрактное понятие о числе, как о действительном положительном числе.